پاسخ کاردرکلاس صفحه 65 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 65 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین بر مهارت **تجزیه‌ی عبارت‌های جبری** (با استفاده از اتحادها و فاکتورگیری) و سپس **ساده‌سازی کسرهای گویا** تمرکز دارد. ### **الف) $\mathbf{\frac{x^2 + 1}{x^2 + 2x + 1}}$** **تجزیه:** * **صورت ($x^2 + 1$):** این عبارت (مجموع مربع‌ها) در مجموعه‌ی اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ **تجزیه نمی‌شود**. * **مخرج ($x^2 + 2x + 1$):** اتحاد **مربع مجموع** است. $x^2 + 2x + 1 = \mathbf{(x + 1)^2}$ **ساده‌سازی:** $$\frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2}$$ * **حاصل:** عبارت ساده نمی‌شود، زیرا عامل مشترکی در صورت و مخرج وجود ندارد. $$\mathbf{\frac{x^2 + 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2}}$$ --- ### **ب) $\mathbf{\frac{x^3 - 1}{(x - 1)^2}}$** **تجزیه:** * **صورت ($x^3 - 1$):** اتحاد **تفاضل مکعب‌ها** است. $x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = \mathbf{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$ * **مخرج ($(x - 1)^2$):** $(x - 1)(x - 1)$ **ساده‌سازی:** $$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x - 1)}$$ با حذف یک عامل $(x - 1)$ از صورت و مخرج (به شرط $\mathbf{x \ne 1}$): $$\mathbf{\frac{x^2 + x + 1}{x - 1}}$$ --- ### **پ) $\mathbf{\frac{x^4 + 1}{x^4 - 1}}$** **تجزیه:** * **صورت ($x^4 + 1$):** مجموع مربع‌ها است و در $\mathbb{R}$ **تجزیه نمی‌شود**. * **مخرج ($x^4 - 1$):** اتحاد **تفاضل مربع‌ها** است. $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$ سپس $(x^2 - 1)$ را دوباره تجزیه می‌کنیم: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ **ساده‌سازی:** $$\frac{x^4 + 1}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}$$ * در اینجا $\mathbf{x^2 + 1}$ را به عنوان عامل مشترک **نمی‌توان حذف کرد**! زیرا در صورت، $x^4 + 1$ است، نه $(x^2 + 1)$. * **حاصل:** عبارت ساده نمی‌شود، زیرا عامل مشترکی در صورت و مخرج وجود ندارد. $$\mathbf{\frac{x^4 + 1}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}}$$ --- ### **ت) $\mathbf{\frac{y^5 - y^3 - 12y}{8y^2 + 16y} = \frac{y(y^4 - y^2 - 12)}{8y(y + 2)} = \frac{y(y^2 - 4)(y^2 + 3)}{8y(y + 2)} = \underline{\hspace{1cm}}}$** **ادامه‌ی تجزیه و ساده‌سازی:** * **تجزیه بیشتر صورت:** عامل $(y^2 - 4)$ را با **اتحاد مزدوج** تجزیه می‌کنیم: $\mathbf{(y - 2)(y + 2)}$ $$\frac{y(y - 2)(y + 2)(y^2 + 3)}{8y(y + 2)}$$ * **حذف عوامل مشترک:** عامل‌های **$y$** و **$(y + 2)$** در صورت و مخرج مشترک هستند (به شرط $\mathbf{y \ne 0}$ و $\mathbf{y \ne -2}$). $$\mathbf{\frac{(y - 2)(y^2 + 3)}{8}}$$ **پاسخ نهایی (ت):** $$\frac{y^5 - y^3 - 12y}{8y^2 + 16y} = \frac{y(y^2 - 4)(y^2 + 3)}{8y(y + 2)} = \mathbf{\frac{(y - 2)(y^2 + 3)}{8}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 65 ریاضی دهم - مسئله ۲ این تمرین به شما نشان می‌دهد که اتحادهای جبری، نه تنها برای متغیرهای ساده ($x$ و $y$) بلکه برای **عبارت‌های رادیکالی** یا **توان‌های گویا** نیز قابل استفاده هستند. ### **گام ۱: جایگذاری در طرف چپ** با جایگذاری $\mathbf{a = \sqrt[3]{x^2}}$ در عبارت $\mathbf{a^3 + 1}$: $$(\sqrt[3]{x^2})^3 + 1$$ * **ساده‌سازی:** از قانون $(\sqrt[n]{a})^n = a$ استفاده می‌کنیم (چون فرجه فرد است، محدودیت $\mathbb{R}$ وجود ندارد): $$(\sqrt[3]{x^2})^3 + 1 = \mathbf{x^2 + 1}$$ ### **گام ۲: جایگذاری در طرف راست** عبارت تجزیه‌شده $\mathbf{(a+1)(a^2 - a + 1)}$ است. جایگذاری را انجام می‌دهیم: $$(\sqrt[3]{x^2} + 1) \left( (\sqrt[3]{x^2})^2 - \sqrt[3]{x^2} + 1 \right)$$ * **ساده‌سازی:** $(a^2)$ را به صورت توانی می‌نویسیم: $(a^2) = (x^{\frac{2}{3}})^2 = x^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{x^4}$ $$(\sqrt[3]{x^2} + 1) \left( \sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1 \right)$$ ### **پاسخ نهایی (بازنویسی اتحاد)** $$(x^2 + 1) = (\sqrt[3]{x^2} + 1) \left( \mathbf{\sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1} \right)$$ **بازنویسی درخواستی:** $$(\sqrt[3]{x^2})^3 + 1 = (\sqrt[3]{x^2} + 1) \left( \mathbf{\sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1} \right)$$ **نتیجه:** این یک روش برای تجزیه‌ی عبارت‌هایی است که شامل توان‌های گویای متغیر هستند.